02 - 量子狀態 (Quantum State)

量子閘是我們用來控制量子的方法,而要控制它,必須先知道他們的狀態,我們常以 ψ=α0+β1|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle , 來表示量子疊加的狀態。

0|0\rangle 是指接地 (ground),可以代表電子電腦中的 0
1|1\rangle 是指激發 (excited),可以代表電子電腦中的 1

那麼  \mid\ \rangle 是什麼 ??

狄拉克符號

狄拉克符號 (Dirac notation) : “ |\ \rangle”,是量子力學中描述量子態的標準符號系統。

在這套系統中,每一個量子態都被描述為 “希爾伯特空間” 中的態向量,看不懂就先當作是一個高中學過的向量就好了 :

括量(ket): ψ=[a1a2..an]|\psi \rangle = {\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\.\\.\\a_n\end{bmatrix}}

而他的共軛轉置則定義為包量(bra): ψ=[a1a2...an]\displaystyle \langle \psi | = {\begin{bmatrix}a_1^*&a_2^*&...&a_n^*\end{bmatrix}}

共軛轉置是什麼?? … 共軛 + 轉置 …

A=AH=(A)T=ATA^{*}=A^{H}=(\overline {A})^ { { \mathrm {T}}}=\overline {A^{ { \mathrm {T}}}}

A=[1103ii1+i]    A=[1i10+3i1i]A={\begin{bmatrix}1&-10-3i\\i&1+i\end{bmatrix}}\ \ \Rightarrow \ \ A^{*}={\begin{bmatrix}1&-i\\-10+3i&1-i\end{bmatrix}}

而在量子力學中多用十字架 \dagger(dagger) 表示

a=a=a|a\rangle^{\dagger} = |a\rangle^{*} = \langle a |

量子狀態

由於測到的結果不是 0 就是 1,因此我們前面說,量子的狀態可以用 : |𝜓⟩ = 𝛼 |0⟩ + 𝛽 |1⟩ 來表示,其中的:

0=[10],1=[01]|0 \rangle = {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}} , |1 \rangle = {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}

而測到 0 的機率為 α2|\alpha|^2

測到 1 的機率為 β2|\beta|^2

因此機率和 α2+β2=1|\alpha|^2 +|\beta|^2 = 1

我們又可以寫成 ψ=eiγ(cosθ20+eiϕsinθ21)|\psi\rangle=e^{i\gamma}(\cos{\frac{\theta}{2}}|0\rangle + e^{i\phi}\sin{\frac{\theta}{2}}|1\rangle )

由於 eiγe^{i\gamma} 對觀察不產生引響,所以可以把它拔掉,就成了

ψ=cosθ20+eiϕsinθ21|\psi\rangle=\cos{\frac{\theta}{2}}|0\rangle + e^{i\phi}\sin{\frac{\theta}{2}}|1\rangle

(α=cosθ2,β=eiϕsinθ2,0θπ,0ϕπ)(\alpha=cos{\frac{\theta}{2}},\beta=e^{i\phi}\sin{\frac{\theta}{2}},0\le\theta\le\pi,0\le\phi\le\pi)

也因此,為了方便理解,有了一個常用於量子位元的幾何表示法:

布洛赫球面(Bloch sphere)

  • 之所以把 |0⟩ 和 |1⟩ 定在 z 軸是因為我們測量他時,是對 z 軸做投影式測量。

  • 測量的結果就是我們常見 0 或 1,但是值得一提的是,處於相同狀態的量子系統被測量後可能得到完全不同的結果,這些結果是符合一定的「機率分布」。

將量子位元想像成一顆球之後,接下來也比較容易理解下一章量子閘在做什麼了。