Gram-Schmidt Orthogonalization

假設 {b1,,bn}\{ {b_1},\ldots,{b_n} \} 為子空間 {W}\{W\} 的一組已知基底

我們希望從 {b1,,bn}\{ {b_1},\ldots,{b_n} \} 建構出另一組 Orthonormal basis (單範正交基底)

舉個例子 :

WW 的向量空間可由 {(1,1),(2,1)}\{(1, 1), (2, 1)\} 所組成

任意選擇一向量當作 (b1)(b_1) 開始

左圖,令 b1b_1 = (1,1)(1,1)

  1. b1ˉ=b1\bar{b_1} = {b_1}

  2. b2ˉ=prepb1ˉ(b2)=b2projb1ˉ(b2)=b2(b1ˉb2/b1ˉb1ˉ)b2\bar{b_2} = prep_{\bar{b_1}}(b_2) = b_2 - proj_{\bar{b_1}}(b_2) = b_2 - (\bar{b_1} \cdot b_2 /\bar{b_1}\cdot \bar{b_1})*b_2

以這種方式建構出 {W}\{W\} 空間的另一組 b1ˉ,b2ˉ\bar{b_1}, \bar{b_2} 正交基底


該方法 (Gram-Schmidt) 可以拓展到更高的維度

假設另一個子空間 WW 的一組基底 {b1,b2,b3,...,bk}\{b_1,b_2,b_3, ... ,b_k\}

以此找到一組有 k 的彼此正交的向量 {b1ˉ,b2ˉ,b3ˉ,...,bkˉ}\{\bar{b_1},\bar{b_2},\bar{b_3}, ... ,\bar{b_k}\}

b1ˉ=b1\bar{b_1} = b_1

b2ˉ=b2(b2ˉb2/b2ˉb2ˉ)b2\bar{b_2} = b_2 - (\bar{b_2} \cdot b_2 /\bar{b_2}\cdot \bar{b_2})*b_2

b3ˉ=b3(b1ˉb3/b1ˉb1ˉ)b1ˉ(b2ˉb3/b2ˉb2ˉ)b2ˉ\bar{b_3} = b_3 - (\bar{b_1}b_3/\bar{b_1}\bar{b_1}) \bar{b_1} - (\bar{b_2}b_3/\bar{b_2}\bar{b_2})\bar{b_2}

\vdots

bkˉ=bk(b1ˉbk/b1ˉb1ˉ)b1ˉ(b2ˉbk/b2ˉb2ˉ)b2ˉ...\bar{b_k} = b_k - (\bar{b_1}b_k/\bar{b_1}\bar{b_1}) \bar{b_1} - (\bar{b_2}b_k/\bar{b_2}\bar{b_2})\bar{b_2} ...

詳細內容可以去線代啟示錄