假設 ${ {b_1},\ldots,{b_n} }$ 為子空間 ${W}$ 的一組已知基底
我們希望從 ${ {b_1},\ldots,{b_n} }$ 建構出另一組 Orthonormal basis (單範正交基底)
舉個例子 ：
$W$ 的向量空間可由 ${(1, 1), (2, 1)}$ 所組成
任意選擇一向量當作 $(b_1)$ 開始
左圖，令 $b_1$ = $(1,1)$ ：
$\bar{b_1} = {b_1}$
$\bar{b_2} = prep_{\bar{b_1}}(b_2) = b_2 - proj_{\bar{b_1}}(b_2) = b_2 - (\bar{b_1} \cdot b_2 /\bar{b_1}\cdot \bar{b_1})*b_2$
以這種方式建構出 ${W}$ 空間的另一組 $\bar{b_1}, \bar{b_2}$ 正交基底
該方法 (Gram-Schmidt) 可以拓展到更高的維度
假設另一個子空間 $W$ 的一組基底 ${b_1,b_2,b_3, … ,b_k}$
以此找到一組有 k 的彼此正交的向量 ${\bar{b_1},\bar{b_2},\bar{b_3}, … ,\bar{b_k}}$
$\bar{b_1} = b_1$
$\bar{b_2} = b_2 - (\bar{b_2} \cdot b_2 /\bar{b_2}\cdot \bar{b_2})*b_2$
$\bar{b_3} = b_3 - (\bar{b_1}b_3/\bar{b_1}\bar{b_1}) \bar{b_1} - (\bar{b_2}b_3/\bar{b_2}\bar{b_2})\bar{b_2}$
$\vdots$
$\bar{b_k} = b_k - (\bar{b_1}b_k/\bar{b_1}\bar{b_1}) \bar{b_1} - (\bar{b_2}b_k/\bar{b_2}\bar{b_2})\bar{b_2} …$